• 1. Экспертная оценка
• 2. Анализ иерархий (метод Саати)
• 3. Метод анализа затрат и выгод
• 4. Метод ранжирования
• 5. Метод на основе статистических данных
• 6. Метод многокритериальной оптимизации
• 7. Метод Delphi

Для определения веса предложения \(w_k\) в экспертной оценке землепользования можно использовать различные методы. Ниже приведены основные подходы с описанием и формулами.

1. Экспертная оценка

Описание: Вес предложения определяется на основе мнений экспертов, которые оценивают значимость каждого предложения по заданной шкале (например, от 1 до 10).

Процесс:

1. Сформировать группу экспертов, которые обладают знаниями в области землепользования.

2. Каждый эксперт оценивает каждое предложение по шкале (например, от 1 до 10), где 1 — минимальная значимость, 10 — максимальная.

3. Вес предложения рассчитывается как среднее значение оценок всех экспертов.

Формула: \(w_k = \frac{\sum_{j=1}^m \text{Оценка эксперта } j}{m}\) где \(m\) — количество экспертов.

Нормализация весов предложений при использовании экспертных оценок необходима для того, чтобы привести оценки разных экспертов к единой шкале и учесть их вклад в общую оценку. Для этого можно использовать метод нормализации по сумме.

Алгоритм нормализации весов:

1. Каждый эксперт присваивает вес каждому предложению. Пусть \(w_{jk}^e\) — вес предложения \(q_{jk}\), присвоенный экспертом \(e\).

2. Для каждого эксперта вычисляется сумма весов всех предложений:
   
   \(S^e = \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^p w_{jk}^e.\)

3. Нормализованный вес для каждого предложения вычисляется как:
   
   \(\tilde{w}_{jk}^e = \frac{w_{jk}^e}{S^e}.\)

4. Итоговый вес предложения \(q_{jk}\) рассчитывается как среднее арифметическое нормализованных весов от всех экспертов:
   
   \(w_{jk} = \frac{1}{E} \sum_{e=1}^E \tilde{w}_{jk}^e,\) где \(E\) — количество экспертов.

Пример с тремя экспертами:

Пусть у нас есть три эксперта, и они присвоили веса предложениям следующим образом:

Шаг 1: Нормализация весов для каждого эксперта

Для Эксперта 1:

\(\tilde{w}_1^1 = \frac{w_1^1}{S^1} = \frac{5}{8} = 0.625, \quad \tilde{w}_2^1 = \frac{w_2^1}{S^1} = \frac{3}{8} = 0.375.\)

Для Эксперт 2:

\(\tilde{w}_1^2 = \frac{w_1^2}{S^2} = \frac{4}{6} \approx 0.6667, \quad \tilde{w}_2^2 = \frac{w_2^2}{S^2} = \frac{2}{6} \approx 0.3333.\)

Для Эксперт 3:

\(\tilde{w}_1^3 = \frac{w_1^3}{S^3} = \frac{6}{10} = 0.6, \quad \tilde{w}_2^3 = \frac{w_2^3}{S^3} = \frac{4}{10} = 0.4.\)

Шаг 2: Расчет итоговых весов

Итоговый вес для каждого предложения вычисляется как среднее арифметическое нормализованных весов от всех экспертов:

Для предложения \(q_1\):

\(w_1 = \frac{\tilde{w}_1^1 + \tilde{w}_1^2 + \tilde{w}_1^3}{3} = \frac{0.625 + 0.6667 + 0.6}{3} \approx \frac{1.8917}{3} \approx 0.6306.\)

Для предложения \(q_2\):

\(w_2 = \frac{\tilde{w}_2^1 + \tilde{w}_2^2 + \tilde{w}_2^3}{3} = \frac{0.375 + 0.3333 + 0.4}{3} \approx \frac{1.1083}{3} \approx 0.3694.\)

Итоговые веса предложений:

Объяснение:

Нормализация позволяет учесть вклад каждого эксперта, даже если они используют разные шкалы оценок.

Итоговые веса \(w_1 = 0.6306\) и \(w_2 = 0.3694\) отражают относительную важность предложений \(q_1\) и \(q_2\) с учетом мнений всех экспертов.

Эти веса можно использовать в целевой функции модели для оптимизации землепользования.

Формула для целевой функции:

\(\text{Maximize } Z = \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^p w_{jk} \cdot q_{jk},\)

где:

\(w_{jk}\) — нормализованный вес предложения \(q_{jk}\),

\(q_{jk}\) — бинарная переменная, равная 1, если предложение реализовано, и 0 в противном случае.

2. Анализ иерархий (метод Саати)

Описание: Метод Саати (или метод анализа иерархий, Analytic Hierarchy Process, AHP) используется для определения весов критериев или альтернатив на основе попарных сравнений. Этот метод позволяет учесть субъективные предпочтения экспертов и формализовать их в виде числовых значений весов. Ниже приведено описание расчета весов на основе матрицы сравнений с использованием метода Саати.

Шаги для расчета весов:

1. Построение матрицы попарных сравнений:

Эксперт сравнивает критерии или альтернативы попарно, используя шкалу относительной важности от 1 до 9. Шкала Саати выглядит следующим образом:

• 1 — равная важность;
• 3 — умеренное превосходство одного над другим;
• 5 — существенное превосходство;
• 7 — значительное превосходство;
• 9 — очень сильное превосходство;
• 2, 4, 6, 8 — промежуточные значения.

Матрица попарных сравнений \(A\) имеет размер \(n \times n\), где \(n\) — количество критериев или альтернатив. Элемент матрицы \(a_{ij}\) отражает относительную важность критерия \(i\) по сравнению с критерием \(j\).

Матрица должна быть согласованной, то есть \(a_{ij} = \frac{1}{a_{ji}}\) и \(a_{ii} = 1\).

Пример матрицы для трех критериев: \(A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ \frac{1}{3} & 1 & 2 \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}\) Расчет вектора приоритетов (весов):

Для каждого критерия вычисляется среднее геометрическое значений строки матрицы: \(w_i = \left( \prod_{j=1}^n a_{ij} \right)^{\frac{1}{n}}\) Затем вектор \(w_i\) нормализуется, чтобы сумма весов была равна 1: \(w_i' = \frac{w_i}{\sum_{j=1}^n w_j}\) Нормализованный вектор \(w_i'\) представляет собой веса критериев.

2. Проверка согласованности матрицы:

Для проверки согласованности матрицы вычисляется индекс согласованности (CI): \(CI = \frac{\lambda_{\text{max}} - n}{n - 1}\) где \(\lambda_{\text{max}}\) — максимальное собственное значение матрицы \(A\), а \(n\) — размер матрицы.

Затем вычисляется отношение согласованности (CR): \(CR = \frac{CI}{RI}\) где \(RI\) — случайный индекс, который зависит от размера матрицы (значения \(RI\) для разных \(n\) можно найти в таблицах).

Если \(CR < 0.1\), матрица считается согласованной. В противном случае необходимо пересмотреть попарные сравнения.

Пример расчета весов:

Пусть у нас есть три критерия: \(C_1, C_2, C_3\), и матрица попарных сравнений:

1. Вычисление среднего геометрического для каждой строки: \(w_1 = (1 \cdot 3 \cdot 5)^{\frac{1}{3}} = 15^{\frac{1}{3}} \approx 2.466\)

   \[w_2 = \left( \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \right)^{\frac{1}{3}} = \left( \frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 0.874\] \[w_3 = \left( \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \right)^{\frac{1}{3}} = \left( \frac{1}{10} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 0.464\]

2. Нормализация весов: \(\sum w_i = 2.466 + 0.874 + 0.464 \approx 3.804\)

   \[w_1' = \frac{2.466}{3.804} \approx 0.648\] \[w_2' = \frac{0.874}{3.804} \approx 0.230\] \[w_3' = \frac{0.464}{3.804} \approx 0.122\]

   Таким образом, веса критериев: \(w_1' \approx 0.648\), \(w_2' \approx 0.230\), \(w_3' \approx 0.122\).

3. Проверка согласованности:

   Вычисляем \(\lambda_{\text{max}}\) и \(CI\). Если \(CR < 0.1\), матрица считается согласованной.

Применение в модели:

В контексте модели экспертного исследования, веса \(w_k\) для предложений \(q_{ik}\) могут быть рассчитаны с использованием метода Саати. Например, если есть несколько предложений по оптимизации землепользования, можно попарно сравнить их важность и рассчитать веса, которые затем будут использоваться в целевой функции.

где \(w_k\) — веса, рассчитанные методом Саати.

3. Метод анализа затрат и выгод

Описание: Вес предложения определяется на основе соотношения затрат и выгод от его реализации.

Процесс:

1. Оценить затраты на реализацию каждого предложения (например, финансовые, временные, ресурсные).

2. Оценить ожидаемые выгоды от реализации предложения (например, увеличение доходности, улучшение экологической ситуации).

3. Вес предложения рассчитывается как отношение выгод к затратам.

Формула: \(w_k = \frac{\text{Выгоды от предложения } q_k}{\text{Затраты на реализацию } q_k}\)

4. Метод ранжирования

Описание: Предложения ранжируются по их важности, и вес определяется на основе их места в ранжированном списке.

Процесс:

1. Все предложения ранжируются от наиболее важного к наименее важному.

2. Вес предложения определяется обратно пропорционально его месту в ранге (например, первое место получает наибольший вес, последнее — наименьший).

Формула: \(w_k = \frac{1}{\text{Ранг предложения } q_k}\)

5. Метод на основе статистических данных

Описание: Вес предложения определяется на основе статистических данных о прошлых результатах реализации подобных предложений.

Процесс:

1. Собрать данные о результатах реализации аналогичных предложений в прошлом.

2. Оценить, насколько каждое предложение повлияло на эффективность землепользования.

3. Вес предложения определяется на основе статистической значимости его влияния.

Формула: \(w_k = \text{Статистическая значимость влияния } q_k\)

6. Метод многокритериальной оптимизации

Описание: Вес предложения определяется на основе нескольких критериев, таких как экономическая эффективность, экологическая устойчивость, социальная значимость и т.д.

Процесс:

1. Определить критерии, по которым будут оцениваться предложения.

2. Оценить каждое предложение по каждому критерию.

3. Вес предложения рассчитывается как взвешенная сумма оценок по всем критериям.

Формула: \(w_k = \sum_{c=1}^C \alpha_c \cdot \text{Оценка предложения } q_k \text{ по критерию } c\) где \(\alpha_c\) — вес критерия \(c\).

7. Метод Delphi

Описание: Метод Delphi предполагает несколько итераций опроса экспертов для достижения консенсуса по весам предложений.

Процесс:

1. Эксперты оценивают предложения в несколько раундов.

2. После каждого раунда эксперты получают обратную связь о результатах предыдущего раунда и могут скорректировать свои оценки.

3. Вес предложения определяется как среднее значение оценок экспертов после достижения консенсуса.

Заключение

Выбор метода определения веса предложения зависит от доступных данных, целей исследования и ресурсов. В большинстве случаев рекомендуется комбинировать несколько методов для повышения точности и объективности оценки. Например, можно использовать экспертные оценки для первоначального определения весов, а затем уточнить их с помощью метода анализа затрат и выгод или многокритериальной оптимизации.